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Modèle dynamique d'un pendule inversé (partie 2)

Cette page fait partie d'une série d'articles sur la modélisation dynamique d'un pendule inversé. Nous vous recommandons fortement de lire les pages précédentes pour une meilleure compréhension.

Contraintes

Comme le chariot et le pendule sont liés par une liaison pivot, nous pouvons écrire les équations suivantes. Ces équations expriment les coordonnées et l’orientation de chaque corps du système. Pour le chariot (corps 1) :

$$ \begin{array}{r c l} x_1 &=& x_1 \\ y_1 &=& 0 \\ \Theta_1 &=& 0 \\ \end{array} $$

Pour le pendule (corps 2):

$$ \begin{array}{r c l} x_2 &=& x_1 - L.sin(\Theta) \\ y_2 &=& y_1 + L.cos(\Theta) &=& L.cos(\Theta) \\ \Theta_2 &=& \Theta \end{array} $$

Définissons le vecteur \( \vec{q} \), la position de notre système :

$$ \vec{q}=\begin{pmatrix} x_1 \ \Theta_2 \end{pmatrix} $$

Définissons les contraintes sur la position :

$$ \phi = \begin{pmatrix} y_1 \\ \Theta_1 \\ x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x_1 - L.sin(\Theta) \\ L.cos(\Theta) \end{pmatrix} $$

Calculons les contraintes en vitesse :

$$ \dot{\phi} = \begin{pmatrix} \dot{y_1} \\ \dot{\Theta_1} \\ \dot{x_2} \\ \dot{y_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{x_1} - L.\dot{\Theta_2}.cos(\Theta_2) \\ -L.\dot{\Theta_2}.sin(\Theta_2) \end{pmatrix} $$

Calculons les contraintes en accélération :

$$ \ddot{\phi} = \begin{pmatrix} \dot{y_1} \\ \ddot{\Theta_1} \\ \ddot{x_2} \\ \ddot{y_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \ddot{x_1} - L.\ddot{\Theta_2}.cos(\Theta_2) + L.\dot{\Theta_2}^2.sin(\Theta_2) \\ -L.\ddot{\Theta_2}.sin(\Theta_2) - L.\dot{\Theta_2}^2.cos(\Theta_2) \end{pmatrix} $$

Voir aussi


Dernière mise à jour : 11/02/2021