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Modèle dynamique d'un pendule inversé (partie 5)

Cette page fait partie d'une série d'articles sur la modélisation dynamique d'un pendule inversé. Nous vous recommandons fortement de lire les pages précédentes pour une meilleure compréhension.

Résolution du système

En se basant sur les équations mentionnées précédement, nous pouvons reformuler l’expression de \( \lambda_4 \) et \( \lambda_5 \) :

$$ \begin{array}{r c l} \lambda_4 &=& m_2.\ddot{x_2} \\ \lambda_5 &=& m_2.\ddot{y_2} + g.m_2 \\ \end{array} $$

l’équation précédente devient :

$$ \begin{array}{r c l} m_1.\ddot{x_1} &=& | \vec{F_t} | -m_2.\ddot{x_2} \\ I_2.\ddot{\Theta_2} &=& m_2.\ddot{x_2}.L.cos(\Theta_2) + (m_2.\ddot{y_2} + g.m_2).L.sin(\Theta_2) \end{array} $$

Grâce à la contrainte en accélération :

$$ \begin{array}{r c l} m_1.\ddot{x_1} &=& | \vec{F_t} | -m_2.(\ddot{x_1} - L.\ddot{\Theta_2}.cos(\Theta_2) - L.\dot{\Theta_2}^2.sin(\Theta_2) ) \\ I_2.\ddot{\Theta_2} &=& m_2.(\ddot{x_1} - L.\ddot{\Theta_2}.cos(\Theta_2) + L.\dot{\Theta_2}^2.sin(\Theta_2) ).L.cos(\Theta_2) \\ &+& (m_2.(-L.\ddot{\Theta_2}.sin(\Theta_2) - L.\dot{\Theta_2}^2.cos(\Theta_2)) + g.m_2).L.sin(\Theta_2) \end{array} $$

Reformuler l’équation précédente nous donne :

$$ \begin{array}{r c l} (m_1+m_2).\ddot{x_1} &-& m_2.L.cos(\Theta_2).\ddot{\Theta_2} &=& | \vec{F_t} | - m_2.L.\dot{\Theta_2}^2.sin(\Theta_2) \\ -m_2.L.cos(\Theta_2).\ddot{x_1} &+& (I_2+ m_2.L^2).\ddot{\Theta_2} &=& m_2.g.L.sin(\Theta_2) \end{array} $$

et :

$$ \begin{pmatrix} m_1+m_2 & - m_2.L.cos(\Theta_2) \\ -m_2.L.cos(\Theta_2) & (I_2+ m_2.L^2) \end{pmatrix} . \ddot{q} = \begin{pmatrix} | \vec{F_t} | - m_2.L.\dot{\Theta_2}^2.sin(\Theta_2) \ m_2.g.L.sin(\Theta_2) \end{pmatrix} $$

L’équation générale du système est :

$$ \ddot{q}=A^{-1}.B $$

où :

$$ A=\begin{pmatrix} m_1+m_2 & - m_2.L.cos(\Theta_2) \\ -m_2.L.cos(\Theta_2) & (I_2+ m_2.L^2) \end{pmatrix} $$

$$ B= \begin{pmatrix} | \vec{F_t} | - m_2.L.\dot{\Theta_2}^2.sin(\Theta_2) \ m_2.g.L.sin(\Theta_2) \end{pmatrix} $$

Voir aussi


Dernière mise à jour : 11/02/2021