Modélisation d'un pendule simple

Introduction

Un pendule simple est constitué d’un poids suspendu par un câble non déformable. Dans cet article, nous allons écrire la mise en équation de ce système. Nous allons ensuite résoudre ces équations afin de détermine la fréquence d'oscillation.

Dans cet article, nous considérerons les hypothèses suivantes:

Le poids peut se balancer librement.
$ L $ est la longueur du câble.
$ m $ est la masse du corps du pendule.
La masse du câble est négligée.
Les frottements sont négligés.

Mise en équation du système

Pour trouver l’équation régissant le système, nous allons appliquer le principe fondamentale de la dynamique :

$$ m.\vec{a} = \sum{\vec{F}} $$

Les forces agissant sur le système sont la force de gravité $ \vec{F_g} $ et la force de tension du câble $ \vec{T} $. La trajectoire de la masse décrit nécessairement un arc de cercle. L’accélération élémentaire du corps est nécessairement tangente à cette trajectoire. La force de tension du câble est donc perpendiculaire à la trajectoire de la masse. Sa projection le long de l’axe de déplacement est nulle. Une seule force devra être considérée dans la suite des calculs : la force de gravité:

$$ m.a = \vec{F_m} = m.g.sin(\Theta) $$

La relation entre la vitesse linéaire et angulaire du corps est donnée par :

$$ v=L\frac{d \Theta }{dt} $$

En dérivant cet équation, nous obtenons :

$$ a=\dfrac{dv}{dt}=L. \dfrac{d^2 \Theta }{dt^2} $$

L’équation obtenue avec le principe fondamental de la dynamique peut être mise à jour :

$$ m.L. \frac{d^2 \Theta }{dt^2} = m.g.sin(\Theta) $$

En divisant par $ m $ :

$$ L. \frac{d^2 \Theta }{dt^2} = g.sin(\Theta) $$

Nous pouvons ainsi obtenir l’équation différentielle régissant le système :

$$ \frac{d^2 \Theta }{dt^2} = \frac{g}{L}.sin(\Theta) $$

Résolution

L’équation différentielle obtenue est non linéaire. Il est possible de linéariser cette équation pour de petites valeurs de $\Theta$ en approximant $sin(\Theta)$. L’équation devient linéaire:

$$ \frac{d^2 \Theta }{dt^2} = \frac{g}{L}.\Theta $$

La solution générale à l’équation différentielle linéarisée est :

$$ \Theta = A.cos(\omega.t + \phi) $$

avec

$$ \omega^2=\frac{g}{L} $$

Etant donné les conditions initiales $ \Theta=\Theta_0 $ (angle initial du pendule), et en considérant que la vitesse initiale est nulle, nous pouvons écrire:

$$ A.cos(\phi)=\Theta_0 $$ $$ -A.\omega.sin(\phi)=0 $$

Le système peut être résolu:

$$ A=\Theta_0 $$ $$ \phi=0 $$

La solution générale du système devient:

$$ \Theta(t)=\Theta_0.cos(\omega.t) $$

Où $ \omega = \sqrt { \frac {g}{L} } $. La période d’oscillation est donnée par :

$$ T=2.\pi.\sqrt { \frac {g}{L}} $$

Remerciements

Je tiens à remercier mon collègue et ami Jean-Pierre Pecqueur de l’Université d’Angers pour son aide.

Voir aussi

Dernière mise à jour : 24/10/2021