Produit scalaire (dot product)

Formule

Le produit scalaire de deux vecteurs (à ne pas confondre avec le produit vectoriel) est le produit des longueurs des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle formé par les vecteurs. Le produit scalaire des vecteurs \(\vec{V}\) et \(\vec{U}\) peut être calculé grâce à la formule suivante:

$$ \vec{V} \cdot \vec{U} = V_x.U_x + V_y.U_y + V_z.U_z = | \vec{V} |. | \vec{U} | .cos (\theta) $$

où \(\theta\) est l’angle formé par les vecteurs \(\vec{V}\) et \(\vec{U}\).

Propriétés

Si \(\vec{V}\) et \(\vec{U}\) sont hortogonaux, \(\vec{V} \cdot \vec{U}\) est égal à zéro.
Si \(\vec{V}\) est nul, \(\vec{V} \cdot \vec{U}\) est égal à zéro.
Si \(\vec{U}\) est nul, \(\vec{V} \cdot \vec{U}\) est égal à zéro.
\(\vec{V} \cdot \vec{V} = | \vec{V} | ^2\)
\(\vec{V} \cdot \vec{U} = \vec{U} \cdot \vec{V}\)
\(\vec{V} \cdot (-\vec{U}) = (-\vec{V}) \cdot \vec{U} = - ( \vec{V} \cdot \vec{U} )\)

Code source C++

La fonction C++ ci-dessous retourne le produit scalaire de deux vecteurs :

/*!
 * \brief   Compute the dot product of two vectors (this . V)
 *          The current vector is the first operand
 * \param   V is the second operand
 * \return  the dot product between the current vector and V
 */
inline double rOc_vector::dot(const rOc_vector V)
{
    return this->x()*V.x() + this->y()*V.y() + this->z()*V.z();
}

Produit scalaire sous MATLAB

Avec MATLAB, le produit scalaire peut facilement être calculé avec la fonction dot(A, B) :

>> u=[1,2,3];
>> v=[4,5,6];
>> dot (u,v)

ans =

    32

Voir aussi

• Calculer la transformation entre deux nuages de points
• Splines avec la méthode de Catmull-Rom
• Tester si un nombre est premier en ligne
• Vérifier qu’un point appartient à un segment
• Produit vectoriel (cross product)
• Principales règles de dérivation
• Principales dérivées
• Comment calculer les points d'intersection de deux cercles ?
• Comment tester si quatre points sont coplanaires ?
• Principales primitives (calculs intégrals)
• Moindres carrés : approximation avec un polynôme du second degré
• Approximation d'un cercle avec la méthode des moindres carrés
• Approximation d'une sphère avec la méthode des moindres carrés
• Les maths derrière l'ACP
• Résoudre un polynôme du second degré
• Simplificateur de racines carrées en ligne
• Valeurs remarquables des cosinus, sinus et tangeantes
• Décomposition en valeurs singulières (SVD) d’une matrice 2×2
• Segments tangents à deux cercles
• Comprendre les matrices de covariance
• ACP pondérée

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