Comment calculer les points d'intersection de deux cercles ?

L'objet de cette page est de calculer les coordonnées des points d'intersection de deux cercles $ C_1 $ et $ C_2 $.

Voici nos hypothèses :

le centre du cercle $ C_1 $ est $ P_1 = (x_1, y_1)$
le centre du cercle $ C_2 $ est $ P_2 = (x_2, y_2)$
le rayon du cercle $ C_1 $ est $ r_1 $
le rayon du cercle $ C_2 $ est $ r_2 $

L'objectif mathématique est de calculer les coordonnées des points d'intersection $ P_3 $ et $ P_4 $ en fonction de $ P_1 $ , $ P_2 $ , $ r_1 $ et $ r_2 $.

Étapes intermédiaires

Voici le étapes intermédiaires utilisées pour la démonstration:

Calcul de la distance $ d $ entre les deux centres
Analyse des différents cas
Calcul des longueurs $ a $ et $ b $
Calcul de h
Calcul des coordonnées de $ P_5 $
Calcul des vecteurs $ \overrightarrow{P_5P_3} $ et $ \overrightarrow{P_5P_4} $
Calcul des coordonnées de $ P_3 $ et $ P_4 $

Distance entre les centres

Commençons par calculer la distance entre les centres des deux cercles $ d $. Grâce au théorème de Pythagore nous pouvons écrire :

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \label{eq:d} $$

Analyse des cas

Selon la valeur de $ d $, nous avons 5 cas différents :

si $ d > r_1 + r_2 $ les cercles sont trop éloignés et il n'y a pas d'intersection ;
si $ d < | r_1 - r_2 | $ un cercle est à l'interieur de l'autre et il n'y a pas d'intersection ;
si $ d = 0 $ et $ r_1 = r_2 $ les cercles sont confondus et il y a un nombre infini de points d'intersection ;
si $ d = r_1 + r_2 $ il n'y a qu'un seul point d'intersection;
si $ d = r_1 - r_2 $ ou $ d = r_2 - r_1 $ il n'y a qu'un seul point d'intersection, un cercle est à l'intérieur de l'autre ;
si $ d < r_1 + r_2 $ il y a deux points d'intersection.

$ d > r_1 + r_2 $	$ d < \lvert r_1 - r_2 \rvert $

$ d = 0 $ et $ r_1 = r_2 $	$ d = r_1 + r_2 $
)

$ d = r_1 - r_2 $ ou $ d = r_2 - r_1 $	$ d < r_1 + r_2 $

Calcul de a et b

Pour calculer la distance $a$ commençons par exprimer $ h $ en fonction de $ a $ et $ b $ . Dans le triangle rectangle $ P_1 P_5 P_3 $ le théorème de Pythagore nous donne :

$$ r_1^2 = h^2 + a^2 \label{eq:h1} $$

De la même façon, nous pouvons appliquer le théorème dans le triangle rectangle $ P_2 P_5 P_3 $:

$$ r_2^2 = h^2 + b^2 \label{eq:h2} $$

En substituant l'équation \eqref{eq:h2} à l'équation \eqref{eq:h1} nous obtenons la relation suivante:

$$ r_1^2 - r_2^2 = a^2 - b^2 \label{eq:ab} $$

Comme $ d = a +b $, nous pouvons écrire le système d'équation suivant :

$$ \left\{ \begin{split} & r_1^2 - r_2^2 = a^2 - b^2 \\ & d = a +b \end{split} \right. $$

En injextant $ b = d-a $ dans l'équation \eqref{eq:ab}, nous obtenons la relation suivante :

$$ r_1^2 - r_2^2 = a^2 - (d-a)^2 $$

Lse termes $ –a^2 $ de chaque côté s'annulent. Nous pouvons résoudre le système pour $ a $:

$$ \begin{split} r_1^2 - r_2^2 &= a^2 - d^2 - a^2 + 2ad \\ r_1^2 - r_2^2 &= - d^2 + 2ad \\ 2ad & = r_1^2 - r_2^2 + d^2 \end{split}$$

Nous obtenons :

$$ a = \dfrac{r_1^2 - r_2^2 + d^2 }{2d} $$

De la même façon dans le triangle $ P_2 P_5 P_3 $ :

$$ b = \dfrac{r_2^2 - r_1^2 + d^2 }{2d} $$

Toutes les valeurs sont connues:

$ r_1 $ et $ r_2 $ sont les rayons des cercles
$ d $ a été calculé à l'équation \eqref{eq:d}

Calcul de h

Une fois $ a $ et $ b$ connnus, il devient facile de calculer la longueur $ h $ en appliquant le théorème de Pythagor dans le triangle rectangle $ P_1 P_5 P_3 $

$$ r_1^2 = h^2 + a^2 $$

$$ h = \sqrt{ r_1^2 - a^2 }$$

Coordonnées de P5

L'étape suivante consiste à calculer les coordonnées de $ P_5 $.

Comme les vecteurs $ \overrightarrow{P_1P_5} $ et $ \overrightarrow{P_1P_2} $ sont colinéaires, nous pouvons écrire :

$$ \overrightarrow{P_1P_5} = \dfrac{a}{d} \times \overrightarrow{P_1P_2} $$

Nous pouvons en déduire les coorodnnées de $ P_5 $ :

$$ \begin{split} x_5 &= x_1 + \dfrac{a}{d} \times (x_2 - x_1) \\ y_5 &= y_1 + \dfrac{a}{d} \times (y_2 - y_1) \end{split} $$

Vecteurs P₅P₃ et P₅P₄

L'avant dernière étape est le calcul des vecteurs $ \overrightarrow{P_5P_3} $ et $ \overrightarrow{P_5P_4} $ . Considérons le vecteur $ \overrightarrow{P_1P_2} $ donné par la relation suivante :

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} $$

En multipliant ce vecteur par une matrice de rotation autour de l'axe Z, nous pouvons calculer les vecteurs perpendiculaires :

Sens horaire

$$ \overrightarrow{P_1P_2}^{\bot \circlearrowright} = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ -1 && 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_2 - y_1 \\ x_1 - x_2 \end{pmatrix} $$

Send trigonométrique

$$ \overrightarrow{P_1P_2}\ {}^{\bot \circlearrowleft} = \begin{pmatrix} 0 && -1 \\ 1 && 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 - y_2 \\ x_2 - x_1 \end{pmatrix} $$

Nous avons déja calculé la norme des vecteurs $ \lVert \overrightarrow{P_1P_2} \rVert = d $ et $ \lVert \overrightarrow{P_5P_3} \rVert = \lVert \overrightarrow{P_5P_4} \rVert = h $.

En appliquant le ratio $ \dfrac{h}{d} $ au vecteur $ \overrightarrow{P_1P_2}^{\bot} $ nous pouvons en déduire l'expression des vecteurs $ \overrightarrow{P_5P_3}^{\bot} $ et $ \overrightarrow{P_5P_4}^{\bot} $:

$$ \overrightarrow{P_5P_3}^{\bot} = \dfrac{h}{d} \times \overrightarrow{P_1P_2}^{\bot \circlearrowleft} =\begin{pmatrix} \dfrac{h(y_2 - y_1)}{d} \\ \dfrac{h(x_1 - x_2)}{d} \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{P_5P_4}^{\bot} = \dfrac{h}{d} \times \overrightarrow{P_1P_2}^{\bot \circlearrowright} =\begin{pmatrix} \dfrac{h(y_1 - y_2)}{d} \\ \dfrac{h(x_2 - x_1)}{d} \end{pmatrix} $$

Points d'intersection

Lorsque les vecteurs $ \overrightarrow{P_5P_3} $ et $ \overrightarrow{P_5P_4} $ sont calculés, les coordonnées de $P_3$ et $P_4$ peuvent être déduites en translatant le point $ P_3$ par ce vecteur. Nous obtenons finalement :

$$ P_3 =\begin{pmatrix} x_5 - \dfrac{h(y_2 - y_1)}{d} \\ y_5 + \dfrac{h(x_2 - x_1)}{d} \end{pmatrix} $$

$$ P_4 =\begin{pmatrix} x_5 + \dfrac{h(y_2 - y_1)}{d} \\ y_5 - \dfrac{h(x_2 - x_1)}{d} \end{pmatrix} $$

Nous pouvons réécrire ces deux relations en une :

$$ \begin{split} x &=& x_5 ~\pm~ \dfrac{h(y_2 - y_1)}{d} \\ y &=& y_5 ~\pm~ \dfrac{h(x_2 - x_1)}{d} \end{split} $$

Téléchargement

Voici le script Matlab utilisé pour vérifié les résultats de cette page :

circle_circle_intersection.m

Voir aussi

Dernière mise à jour : 16/11/2023