Principe fondamental de la dynamique

Introduction

La seconde loi de Newton (le principe fondamental de la dynamique) dit que la somme des forces $ \vec{F} $ sur un corps est égale à la masse $m$ du corps multipliée par l’accélération $ \vec{a} $ du corps:

$$\sum{\vec{F}}=m.\vec{a}$$

Cet article illustre la mise en oeuvre du principe fondamental de la dynamique sur un exemple très simple et accessible. Dans la suite de cet article, nous considérerons un corps en mouvement sur un plan incliné:

L'objectif ici est de calculer l'accélération du corps. Nous supposerons les hypothèses suivantes:

Les frottements sont négligés.
La force agissant sur le corps est la gravité à la surface de la terre $ \vec{g} $.
$ G $ est le centre de gravité du corps.
$ m $ est la masse du corps.
$ \theta $ est l'angle du plan incliné.

Approche élémentaire

Cette première approche est la plus simple, nous exploiterons l'hypothèse que le corps ne peut se déplacer que dans la direction du plan incliné. En s'appuyant sur cette hypothèse, toutes les forces peuvent être projetées dans la direction du plan incliné. L'application du principe fondamental de la dynamique nous donne:

$$ m.\vec{a} = \sum{\vec{F}} = \vec{R} + \vec{F_g} = \vec{F_m} $$

Les forces agissant sur le corps sont la force de gravité $ \vec{F_g} $ et la force de réaction du sol $ \vec{R} $. Comme $ \vec{R} $ est perpendiculaire au plan incliné, sa projection le long de la direction de déplacement est nulle. La projection de $ \vec{F} $ le long du plan incliné est donnée par:

$$ | \vec{F_{m}} | = |\vec{F_g}| . sin(\Theta) $$

Nous pouvons en déduire que :

$$ m.\|\vec{a} \| = \|\vec{F\_g}\| . sin(\Theta) = m.g.sin(\Theta) $$

Notons que cette équation peut être simplifiée par une division par $ m $. Cela démontre que le mouvement est indépendant de la masse. Beaucoup pensent que plus on est lourd, plus la chute est rapide. Mais en réalité la vitesse de chute est dépendante des frottements et de la gravité. L'accélération est donc données par:

$$ | \vec{a} | = g.sin(\Theta) $$

Si le plan est horizontal, $ \Theta=0 $, l'accélération du corps est nulle, le corps ne bouge pas. Si le plan incliné est vertical, $ \Theta=\pi/2 $, l'accélération du corps est égale à la gravité $ g $, Le corps est en chute libre.

Approche générale

Dans la section précédente, nous avons émis une hypothèse sur la direction du déplacement. Dans celle-ci, nous allons supposé cette direction comme étant inconnue. Les forces agissant sur le corps sont la force de gravité $ \vec{F_g} $ et la force de réaction du sol $ \vec{R} $. Nous allons projeter ces forces le long des axes $ \vec{x} $ et $ \vec{y} $. La projection de la force de gravité est donnée par:

$$ \vec{F\_g} = \left( \begin{array}{r c l} \vec{F\_x} \\\\ \vec{F\_y} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r c l} 0 \\\\ -m.g \end{array} \right) $$

La projection de la force de réaction du sol est donnée par:

$$ | \vec{R} | = m.g.cos(\Theta) $$

$$ \vec{R} = \left( \begin{array}{r c l} \vec{R\_x} \\\\ \vec{R\_y} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r c l} -m.g.cos(\Theta).sin(\Theta) \\\\ m.g.cos(\Theta).cos(\Theta) \end{array} \right) $$

Comme précédemment, le principe fondamental de la dynamique nous donne:

$$ m.\vec{a} = \sum{\vec{F}} = \vec{R} + \vec{F_g} = \vec{F_m} $$

$$ m.\vec{a} = \left( \begin{array}{r c l} \vec{F\_x}+\vec{R\_x} \\\\ \vec{F\_y}+\vec{R\_y} \end{array} \right) \\\\ = \left( \begin{array}{r c l} -m.g.cos(\Theta).sin(\Theta) \\\\ -m.g+m.g.cos(\Theta).cos(\Theta) \end{array} \right) $$

$$ \vec{a} = g.\left( \begin{array}{r c l} -cos(\Theta).sin(\Theta) \\\\ cos(\Theta)^2-1 \end{array} \right) \\\\ = g.\left( \begin{array}{r c l} -sin(\Theta).cos(\Theta) \\\\ -sin(\Theta).sin(\Theta) \end{array} \right) $$

Ce résultat confirme que l'accélération est donnée par:

$$ | \vec{a} | = g.sin(\Theta) $$

Voir aussi

Dernière mise à jour : 29/11/2019