Modèle mathématique d'un différentiel mécanique

Cette page expose et détail le modèle mathématique d'un différentiel mécanique (type voiture) :

Espace de travail

Pour commencer, définissons notre espace de travail (axes et sens de rotations) :

Nommons chaque roue dentée. La roue $i$ est libellée $Z_i$ et est composée de $Z_i$ dents :

Renvoi d'angle

Isolons le renvoi d'angle :

Il s'agit d'une transmission classique, la relation est donnée par :

$$ \omega_1.Z_1 = \omega_2.Z_2 $$

$$ \frac {\Gamma_1}{\Gamma_2} = \frac {Z_1} {Z_2} $$

Dans la suite, nous ne considérerons plus cette transmission.

Dans la cage

Nous allons maintenant travailler dans un référentiel attaché à la cage ($Z_2$) et analyser les roues dentées $Z_3$, $Z_4$, $Z_5$ et $Z_6$. Le terme $\omega^c_i$ est la vitesse angulaire de la roue $Z_i$ exprimée dans le référentiel attaché à la cage.

D'après la convention précédente relative aux sens de rotation, les transmissions entre les roues $Z_3$, $Z_4$, $Z_5$ and $Z_6$ sont données par :

$$ \begin{matrix} \omega^c_4.Z_4=\omega_3^c.Z_3 \\ \omega^c_3.Z_3=\omega^c_5.Z_5 \end{matrix} $$

Notons que la roue $Z_6$ est redondante par rapport à $Z_3$. La relation entre les roues $Z_4$ et $Z_5$ est donnée par :

$$ \omega^c_4.Z_4=-\omega^c_5.Z_5 $$ $$ \frac{\omega^c_4}{\omega^c_5}=-\frac{Z_5}{Z_4}=-1 $$

Comme $Z_4=Z_5$, la relation entre les vitesses angulaires est :

$$ \omega^c_4=-\omega^c_5 $$

Référentiel global

Revenons dans le référentiel global. La vitesse de rotation de la cage est donnée par $\omega_2$. Dans le référentiel de la cage, la vitesse angulaire de la roue $ Z_4$ est égale à $\omega_4$. La vitesse angulaire de la roue $Z_4$d ans le référentiel global est alors donné par :

$$ \omega_4=\omega_2+\omega^c_4 $$

En raisonnant de façon similaire, nous pouvons aussi exprimer la vitesse angulaire de la roue $Z_5$ dans le référentiel global :

$$ \omega_5=\omega_2+\omega^c_5 $$

Rassemblons les équation précédente au sein d'un même système :

$$ \left\lbrace \begin{array}{r c l} \omega_4 &=& \omega_2+\omega^c_4 \\ \omega_5 &=& \omega_2+\omega^c_5 \\ \omega^c_4 &=& -\omega^c_5 \end{array} \right. $$

$$ \left\lbrace \begin{array}{r c l} \omega_4 &=& \omega_2-\omega^c_5 \\ \omega_5 &=& \omega_2+\omega^c_5 \end{array} \right. $$

$$ \left\lbrace \begin{array}{r c l} \omega^c_5 &=& \omega_2-\omega_4 \\ \omega_5 &=& \omega_2+\omega^c_5 \end{array} \right. $$

La résolution du système nous donne l'équation du modèle :

$$ \omega_2 = \frac{1}{2}(\omega_4+\omega_5) $$

Couple

La relation de couple entre les roues dentées $Z_3$, $Z_4$ and $Z_5$ est donnée par :

$$ \begin{matrix} \frac{\Gamma_4}{\Gamma_3}=\frac{Z_4}{Z_3} \\ \frac{\Gamma_5}{\Gamma_3}=\frac{Z_5}{Z_3} \end{matrix} $$

Comme $Z_5=Z_4$ :

$$ \frac{\Gamma_4}{\Gamma_3}=\frac{\Gamma_5}{\Gamma_3} $$

Nous obtenons finalement :

$$ \Gamma_4=\Gamma_5 $$

Puissance

La puissance d'entrée doit être égale à la puissance de sortie:

$$ P_{in}=P_{out} $$

Comme $P=\Gamma.\omega$, , le couple de sortie peut être réécrit sous la forme suivante :

$$ P_{out}=P_4+P_5=\Gamma_4.\omega_4+\Gamma_5.\omega_5 $$

Comme $\Gamma_4=\Gamma_5$, l'équation précédente peut être simplifiée :

$$ P_{out}=\Gamma_4.(\omega_4+\omega_5) $$

Comme $\omega_4+\omega_5=2.\omega_2$, l'équation peut être reformulée :

$$ P_{out}=\Gamma_4.(2.\omega_2)=\Gamma_2\omega_2=P_{in} $$

Nous obtenons finalement :

$$ 2.\Gamma_4=\Gamma_2 $$

Conclusion

La relation entre les vitesses est donnée par:

$$ \omega_2 = \frac{1}{2}(\omega_4+\omega_5) $$

La relation entre les couples est donnée par:

$$ \frac{\Gamma_2}{2} = \Gamma_4=\Gamma_5 $$

Voir aussi

Dernière mise à jour : 21/10/2020