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Modèle dynamique d'un pendule inversé (partie 4)

Cette page fait partie d'une série d'articles sur la modélisation dynamique d'un pendule inversé. Nous vous recommandons fortement de lire les pages précédentes pour une meilleure compréhension.

Interactions

Nous allons maintenant résoudre le système de façon à éliminer les interactions entre les corps (\( \lambda_i \)). Il est prouvé que :

$$ M.\ddot{q} = F - \dfrac{d\phi}{dq}^\top .\Lambda $$

où :

$$ M=\begin{pmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix} $$ $$ \ddot{q}=\begin{pmatrix} \ddot{x_1} \\ \ddot{\Theta_2} \end{pmatrix} $$ $$ F=\begin{pmatrix} | \vec{F_t} | \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ \dfrac{d\phi}{dq} = \begin{pmatrix} \dfrac{dy_1}{dx1} & \dfrac{dy_1}{d\Theta_2} \\ \dfrac{d\Theta_1}{dx1} & \dfrac{d\Theta_1}{d\Theta_2} \\ \dfrac{dx_2}{dx1} & \dfrac{dx_2}{d\Theta_2} \\ \dfrac{dy_2}{dx1} & \dfrac{dy_2}{d\Theta_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & -L.cos(\Theta_2) \\ 0 & -L.sin(\Theta_2) \end{pmatrix} $$

$$ \Lambda=\begin{pmatrix} \lambda2 \\ \lambda3 \\ \lambda4 \\ \lambda5 \end{pmatrix} $$

Appliqué à notre système, cela donne :

$$ \begin{pmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} \ddot{x_1} \\ \ddot{\Theta_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | \vec{F_t} | \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -L.cos(\Theta_2) & -L.sin(\Theta_2) \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} \lambda2 \\ \lambda3 \\ \lambda4 \\ \lambda5 \end{pmatrix} $$

et :

$$ \begin{array}{r c l} m_1.\ddot{x_1} &=& | \vec{F_t} | -\lambda4 \\ I_2.\ddot{\Theta_2} &=& \lambda4.L.cos(\Theta_2) + \lambda5.L.sin(\Theta_2) \end{array} $$

Voir aussi


Dernière mise à jour : 11/02/2021