Asservissement PI pour un système du premier ordre

Introduction

Le but de ce post est d’expliquer et de démontrer comment calculer un correcteur PI (proportionel-intégral) pour un système du premier ordre. Considérons le système à asservir avec pour fonction de transfert G, le système en boucle fermé est donné par le schéma suivant :

C est le correcteur du système que nous allons dimensionner dans la suite de cette page :

Close loop transfer function

La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :

$$ \frac{y}{y_c} = \frac {CG}{1+CG} $$

comme $G$ est modélisé par un système du premier ordre, sa fonction de transfert est donnée par :

$$ G=\frac{b}{z-a} = \frac{b} { z-e^{-\Delta/\tau} } $$

où $ \Delta $ est la période d'échantillonage, et $ \tau $ la constante de temps du système en boucle ouverte.

$ C $ est le correcteur PI, sont équation est donnée par :

$$ C=K . \frac{z-a}{z-1} $$

La fonction de tranfert du système en boucle fermée devient :

$$ \frac{y}{y_c} = \frac { K \frac{z-a}{z-1} \frac{b}{z-a} }{1+ K \frac{z-a}{z-1} \frac{b}{z-a}} $$

L’équation précédente peut être simplifiée :

$$ \frac{y}{y_c} = \frac { K \frac{b}{z-1} }{1+ K \frac{b}{z-1} } $$

La nouvelle fonction de transfert est donnée par :

$$ \frac{y}{y_c} = \frac { Kb }{ z -1 + Kb } $$

Gain statique du système en boucle fermée

Considérons la réponse du système en boucle fermée à une entrée de type échelon unitaire ( $ \frac{z}{z-1} $ ) :

$$ y(z) = \frac { zKb }{ (z -1 + Kb)(z-1) } $$

D’après le théorème de la valeur finale (transformée en z), le gain statique du système est donné par :

$$ \lim\limits_{z \to 1} (z-1).y(z) = \lim\limits_{z \to 1} \frac { zKb(z-1) }{ (z -1 + Kb)(z-1) } = \lim\limits_{z \to 1} \frac { zKb }{ (z -1 + Kb) } = 1 $$

Comme le gain statique du système est équal à 1, l’erreur statique est nulle.

Constante de temps du système en boucle fermée

Le système en boucle fermée est aussi un premier ordre :

$$ \frac{y}{y_c} = \frac { Kb }{ z -1 + Kb } = \frac { Kb }{ z - e^{-\Delta/\tau_c} }$$

où $ \Delta $ est la période d’échantillonage et $ \tau_c $ a constante de temps du système en boucle fermée. Il est à noter que $ \tau_c $ peut être inférieur à $ \tau $ (la constante de temps du système en boucle ouverte). Si $ \tau_c<\tau $ le système est plus vif, (mais consomme plus d’énergie). En pratique, $ \tau_c=\tau/2 $ est un bon compromis. D’après l’équation précédente :

$$ 1-Kb = e^{-\Delta/\tau_c} $$

et :

$$ K= \frac {1-e^{-\Delta/\tau_c}} {b} $$

Pour obtenir le même temps de réponse en boucle ouverte et en boucle fermée, l’équation précédente devient:

$$ K= \frac {1-a} {b} $$

Stabilité

Te système est stable si tous ses pôles sont situés à l’intérieur du cercle unité. Ici, comme le système est du premier ordre, il n’y a qu’un seul pôle : $ 1-Kb $. Le système est stable si:

$$ -1 < 1-Kb < 1 $$

Cette équation peut être reformulée :

$$ 0 < Kb < 2 $$

et :

$$ 0 < K < \dfrac{2}{b} $$

Il est à noter que si $ K $ est calculé depuis $ \tau_c $ ( $ K = \dfrac {1-e^{-\Delta / \tau_c}}{b} $ ), le terme $ e^{-\Delta / \tau_c} $ est inclus dans l'intervalle [0,1[ et le système est nécessairement stable car il en découle que $ 0 < Kb < 1 $.

Domaine échantillonné

La fonction de transfert du correcteur exprimée dans le domaine échantillonné est donnée par:

$$ \frac{u(z)}{\epsilon(z)} = K . \frac{z-a}{z-1} $$

Cette équation peut être reformulée :

$$ (z-1)u(z) = K(z-a)\epsilon(z) $$ $$ z.u(z) - u(z) = K.z.\epsilon(z) -K.a.\epsilon(z) $$ $$ z.u(z) = K.z.\epsilon(z) - K.a.\epsilon(z) + u(z) $$

Exprimons maintenant l’équation précédente dans le domaine discret:

$$ u_{n+1}= K\epsilon_{n+1} - K.a.\epsilon_n + u_{n} $$

où :

$$ u_{n}= K\epsilon_{n} - K.a.\epsilon_{n-1} + u_{n-1} $$

Téléchargement

Voici un script MATLAB qui permet de simuler la réponse des systèmes en boucle ouverte et en boucle fermée :

pi-first-order.m

Voir aussi

Dernière mise à jour : 24/01/2021