Collision élastique - Partie 3 - Calcul de la vitesse

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Intéressons nous maintenant au calcul de la norme des vitesses partielles après collision pour chaque corps. Ce problème peut se résumer à une collision frontale où :

$\vec{u_{12}}$ et $\vec{u_{21}}$ sont les vitesses avant collision;
$\vec{v_{12}}$ et $\vec{v_{21}}$ sont les vitesses après collision.

Conservation de l’énergie cinétique

$$ \frac{1}{2}m_1\|\vec{u_{12}}\|^2 + \frac{1}{2}m_2\|\vec{u_{21}}\|^2 = \frac{1}{2}m_1\|\vec{v_{12}}\|^2 + \frac{1}{2}m_2\|\vec{v_{21}}\|^2 $$

La formule ci-dessus peut être reformulé de la façon suivante:

$$ m_1(\|\vec{u_{12}}\|^2 - \|\vec{v_{12}}\|^2) = m_2(\|\vec{v_{21}}\|^2 - \|\vec{u_{21}}\|^2) $$

Conservation de la quantité de mouvement

$$ m_1\vec{u_{12}} + m_2\vec{u_{21}} = m_1\vec{v_{12}} +m_2\vec{v_{21}} $$

La formule ci-dessus peut être reformulé de la façon suivante:

$$ m_1\|\vec{u_{12}}\|+m_2\|\vec{u_{21}}\|=m_1\|\vec{v_{12}}\|+m_2\|\vec{v_{21}}\| $$

et :

$$ m_1(\|\vec{u_{12}}\| - \|\vec{v_{12}}\|) = m_2(\|\vec{v_{21}}\|-\|\vec{u_{21}}\|) $$

Résolution du système d’équations

Le système global est donné par :

$$ \begin{cases} m_1(\|\vec{u_{12}}\|^2 &-& \|\vec{v_{12}}\|^2) & = & m_2(\|\vec{v_{21}}\|^2 &-& \|\vec{u_{21}}\|^2) \\ m_1(\|\vec{u_{12}}\| &-& \|\vec{v_{12}}\|) & = & m_2(\|\vec{v_{21}}\| &-& \|\vec{u_{21}}\|) \end{cases} $$

Le système ci-dessus peut être réécrit :

$$ \begin{cases} m_1( \|\vec{u_{12}}\| + \|\vec{v_{12}}\|)( \|\vec{u_{12}}\| - \|\vec{v_{12}}\|) & = & m_2(\|\vec{v_{21}}\| - \|\vec{u_{21}}\|)(\|\vec{v_{21}}\| + \|\vec{u_{21}}\|) \\ m_1(\|\vec{u_{12}}\| - \|\vec{v_1}\|) & = & m_2(\|\vec{v_{21}}\| - \|\vec{u_{21}}\|) \end{cases} $$

En divisant la première équation par la seconde, on obtient :

$$ \|\vec{u_{12}}\| + \|\vec{v_{12}}\| = \|\vec{u_{21}}\| + \|\vec{v_{21}}\| $$

Nous obtenons le nouveau système suivant :

$$ \begin{cases} \|\vec{u_{12}}\| + \|\vec{v_{12}}\| &=& \|\vec{u_{21}}\| + \|\vec{v_{21}}\| \\ m_1(\|\vec{u_{12}}\| - \|\vec{v_{12}}\|) &=& m_2(\|\vec{v_{21}}\| - \|\vec{u_{21}}\|) \end{cases} $$

Multiplions la première équation par $m_1$:

$$ \begin{cases} m_1\|\vec{u_{12}}\| &+& m_1\|\vec{v_{12}}\| &=& m_1\|\vec{u_{21}}\| &+& m_1\|\vec{v_{21}}\| \\ m_1\|\vec{u_{12}}\| &-& m_1\|\vec{v_{12}}\| &=& m_2\|\vec{u_{21}}\| &-& m_2\|\vec{v_{21}}\| \end{cases} $$

L’addition de la première équation par la seconde nous donne :

$$ 2m_1\|\vec{u_{12}}\| = (m_1-m_2)\|\vec{u_{21}}\| + (m_1+m_2)\|\vec{v_{21}}\| $$

Les vitesses $\|\vec{v_{12}}\|$ et $\|\vec{v_{21}}\|$ après le choc peuvent maintenant être déduites :

$$ \begin{cases} \|\vec{v_{12}}\| = \frac{1}{m_1+m_2} [ 2m_2\|\vec{u_{21}}\| + (m_1-m_2)\|\vec{u_{12}}\| ] \\ \|\vec{v_{21}}\| = \frac{1}{m_1+m_2} [ 2m_1\|\vec{u_{12}}\| + (m_2-m_1)\|\vec{u_{21}}\| ] \end{cases} $$

Prenons maintenant en compte le fait que que le vecteur $\vec{u_{21}}$ a une direction opposée par rapport au vecteur $\vec{u_{12}}$. L’équation précédente devient:

$$ \begin{cases} \|\vec{v_{12}}\| = \frac{1}{m_1+m_2} [ (m_1-m_2)\|\vec{u_{12}}\| - 2m_2\|\vec{u_{21}}\| ] \\ \|\vec{v_{21}}\| = \frac{1}{m_1+m_2} [ (m_1-m_2)\|\vec{u_{21}}\| + 2m_1\|\vec{u_{12}}\| ]
\end{cases} $$

Synthèse

Le vecteur $\vec{v_1}$ peut maintenant être calculé :

$$ \vec{v_1}=\vec{u_{11}}+\vec{v_{12}} = \|\vec{u_{11}}\| \left( \begin{array}{r c l} -sin(\alpha_1) \\ cos(\alpha_1) \end{array} \right) + \|\vec{v_{12}}\| \left( \begin{array}{r c l} cos(\alpha_1) \\ sin(\alpha_1) \end{array} \right) $$

En prenant en compte la direction opposée de $\vec{v_{21}}$ nous pouvons calculer $\vec{v_2}$:

$$ \vec{v_2}=\vec{u_{22}}+\vec{v_{21}} = \|\vec{u_{22}}\| \left( \begin{array}{r c l} -sin(\alpha_2) \\ cos(\alpha_2) \end{array} \right) - \|\vec{v_{21}}\| \left( \begin{array}{r c l} cos(\alpha_2) \\ sin(\alpha_2) \end{array} \right) $$

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Voir aussi

Dernière mise à jour : 26/10/2019