Modèle d'une articulation actionnée par un moteur linéaire [Partie 3]

Partie 2 Sommaire Partie 4

Cette page fait partie d'un article sur la modélisation d'une articulation actionnée par un moteur linéaire. Il est vivement conseillé de commencer la lecture par l'introduction.

Cet article est divisé en 4 partie :

Coordonnées du moteur

Coordonnées du point A

Afin de calculer le couple en fonction de la force moteur, nous allons avoir besoin de l'expression du vecteur $ \overrightarrow{AB} $. Commençons par calculer les coordonnées du point $A=(x_A, y_A)$:

$$ \begin{split} x_A &=& | \overrightarrow{OA} | \times \cos ( \pi - \alpha ) \\ y_A &=& | \overrightarrow{OA} | \times \sin ( \pi - \alpha ) \end{split} $$

Comme $ \cos(\pi-\theta) = -\cos(\theta) $ et $ \sin(\pi-\theta) = \sin(\theta) $, les equations précédentes peuvent se simplifier :

$$ \begin{split} x_A &=& -| \overrightarrow{OA} | \times \cos ( \alpha ) \\ y_A &=& | \overrightarrow{OA} | \times \sin ( \alpha ) \end{split} $$

Coordonnées du point B

Pour obtenir les coordonnées du point $B$, nous allons calculer l'intersection des cercles $C_1$ et $C_2$:

$C_1$ est un cercle de centre $A$ et de rayon $ | \overrightarrow{AB} | $
$C_2$ est un cercle de centre $C$ et de rayon $ | \overrightarrow{CB} | $

Vous trouverez sur cette page la démonstration du calcul de l'intersection de deux cercles : Comment calculer les points d'intersection de deux cercles ?.

La distance entre les centres $ | AC | $ est donnée par:

$$ d = | \overrightarrow{AC} | = \sqrt {| \overrightarrow{BC} |^2 + | \overrightarrow{BA} |^2 } $$

si $ d > | \overrightarrow{BA} | + | \overrightarrow{BC} | $ les cercles sont trop éloignés et il n'y a pas d'intersection ;
si $ d < | | \overrightarrow{BA} | - | \overrightarrow{BC} | | $ un cercle est à l'interieur de l'autre et il n'y a pas d'intersection ;
si $ d = 0 $ et $ \left| \overrightarrow{BA} | = | \overrightarrow{BC} \right| $ les cercles sont confondus et il y a un nombre infini de points d'intersection ;
si $ d = | \overrightarrow{BA} | + | \overrightarrow{BC} | $ il n'y a qu'un seul point d'intersection ;
si $ d < | \overrightarrow{BA} | + | \overrightarrow{BC} | $ il y a deux points d'intersection.

Dans les trois premiers cas, il n'y a pas de solution. Les coordonnées du point $B$ sont données par :

$$ \begin{split} x_B &=& ~ x_1 ~\pm~ \dfrac{h}{d}(y_C - y_A) \\ y_B &=& ~ y_1 ~\pm~ \dfrac{h}{d}(x_C - x_A) \end{split} $$

avec :

$ a = \dfrac{| \overrightarrow{AB} |^2 - | \overrightarrow{BC} |^2 + d^2 }{2d} $
$ h = \sqrt{ | \overrightarrow{AB} |^2 - a^2 } $
$ x_1 = x_A + \dfrac{a}{d} \times ( x_C - x_A ) $
$ y_1 = y_A + \dfrac{a}{d} \times ( y_C - y_A ) $

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Voir aussi

Dernière mise à jour : 20/05/2022